РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 507588 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 227

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б)  Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в)  Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение. а)  Например, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов этих чисел равна 25 − 13 = 12. Если добавить число 4, то разность будет равна 81 − 29 = 52, что ровно на 40 больше, чем было.

б)  Обозначим члены прогрессии a₁, a₂,..., a_n. Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна

$левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате _1 минус a в квадрате _2 минус ... минус a_n в квадрате =2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$ $левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате _1 минус a в квадрате _2 минус ... минус$
$минус a_n в квадрате =2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$ $левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате _1 минус a в квадрате _2 минус$
$минус ... минус a_n в квадрате =2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс$
$плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$

$плюс ... плюс 2a_3 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка плюс 2a_2a_1.$

Когда к прогрессии добавили член $a_n плюс 1,$ то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

$2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$ $2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n=$
$= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$ $2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n=$
$= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$

где d  — разность прогрессии.

Из условия следует, что $a_1\geqslant0$ и $d\geqslant1,$ поэтому

$левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n больше или равно n в квадрате левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

Получаем неравенство

$n в квадрате левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка \leqslant1768,$

откуда $n \leqslant12.$ Значит, 13 членов в начальной прогрессии быть не может.

в)  Из равенства $левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2A_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n=1768$ следует, что n является делителем числа 1768 = 2 · 2 · 2 · 13 · 17. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. При n  =  8 получаем

$левая круглая скобка a_1 плюс 8d правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс 7d правая круглая скобка =221.$

Если $d\geqslant2,$ то левая часть не меньше, чем $56d в квадрате \geqslant56 умножить на 4 = 224 больше 221.$ Следовательно, d  =  1. Получаем уравнение

$2a в квадрате _1 плюс 23a_1 минус 165=0,$

которое имеет единственный натуральный корень 5. Значит, прогрессия из восьми чисел 5, 6, 7, ..., 12 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а)  2, 3; б)  нет; в)  8.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в или в пунктах а и б	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  2, 3; б)  нет; в)  8.

507588

а)  2, 3; б)  нет; в)  8.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 227

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507588	а)  2, 3; б)  нет; в)  8.