РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 507576 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямоугольный параллелепипед, Сечение  — параллелограмм, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

а)  Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что все грани тетраэдра ACB₁D₁  — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).

б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью A₁BC и прямой BC₁, если AA₁  =  8, AB  =  6, BC  =  15.

Решение. а)  Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда  — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, $AC=B_1D_1,$ $CB_1=AD_1,$ $AB_1=CD_1.$ Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б)  Сечение плоскостью A₁BC есть прямоугольник A₁BCD₁.

Из точки C₁ проведем перпендикуляр C₁H к CD₁. C₁H ⊥ CD₁, C₁H ⊥ CB, следовательно, C₁H перпендикулярна плоскости A₁BC. BH  — проекция BC₁ на плоскость A₁BC. Значит, нужно найти угол C₁BH.

В прямоугольном треугольнике D₁C₁C находим:

$C_1H= дробь: числитель: D_1C_1 умножить на C_1C, знаменатель: D_1C конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби .$

В прямоугольном треугольнике BCC₁ находим: BC₁ = 17.

В прямоугольном треугольнике C₁HB находим: $синус \angle B= дробь: числитель: C_1H, знаменатель: BC_1 конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 85 конец дроби .$

Ответ: $арксинус дробь: числитель: 24, знаменатель: 85 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $арксинус дробь: числитель: 24, знаменатель: 85 конец дроби .$

507576

$арксинус дробь: числитель: 24, знаменатель: 85 конец дроби .$

Методы геометрии: Метод площадей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507576	$арксинус дробь: числитель: 24, знаменатель: 85 конец дроби .$