№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д15 C7 № 507489

Перед каждым из чисел 6, 7,..., 11 и 9, 10 ,..., 17 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение.

Первый набор содержит шесть чисел; пусть a_1 = \pm6, a_2 = \pm7 ,..., a_6 = \pm11. Второй набор содержит девять чисел; пусть b_1 = \pm9, b_2 = \pm10 ,..., b_9 = \pm17.

По условию имеем сумму:

\begin{align}S = (a_1 плюс b_1) плюс (a_1 плюс b_2) плюс . . . плюс (a_1 плюс b_9) плюс , плюс (a_2 плюс b_1) плюс (a_2 плюс b_2) плюс . . . плюс (a_2 плюс b_9) плюс , . . . плюс (a_6 плюс b_1) плюс (a_6 плюс b_2) плюс . . . плюс (a_6 плюс b_9).\end{align}

Нетрудно видеть, что

S = 9(a_1 плюс a_2 плюс . . . плюс a_6) плюс 6(b_1 плюс b_2 плюс . . . плюс b_9),

или

S = 9A плюс 6B,

где A = a_1 плюс a_2 плюс . . . плюс a_6 и B = b_1 плюс b_2 плюс . . . плюс b_9.

1) Очевидно, что сумма S будет наибольшей, если все числа взять с плюсом:

S_max = 9 умножить на (6 плюс 7 плюс . . . плюс 11) плюс 6 умножить на (9 плюс 10 плюс . . . плюс 17) = 1161.

2) Заметим, что среди чисел a1 ,..., a6 ровно три нечётных. Сумма нечётного числа нечётных чисел нечётна; значит, A нечётно. Поэтому и S = 9A + 6B нечётно (поскольку 6B чётно).

Кроме того, S делится на 3 (поскольку 9A и 6B делятся на 3).

Наименьшее по модулю нечётное число, делящееся на 3, есть 3. Стало быть, |S| больше или равно 3 (оценка).

Приведём пример расстановки знаков, при которой в оценке достигается равенство:

9 умножить на ( минус 6 плюс 7 минус 8 плюс 9 плюс 10 минус 11) плюс 6 умножить на ( минус 9 плюс 10 минус 11 минус 12 минус 13 минус 14 плюс 15 плюс 16 плюс 17) = 3.

Таким образом, |S|min = 3.

 

Ответ: 3 и 1161.