РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 507489 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ  — 2010

Классификатор алгебры: ЕГЭ  — 2010, Числовые наборы на карточках и досках

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Перед каждым из чисел 6, 7,..., 11 и 9, 10 ,..., 17 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение. Первый набор содержит шесть чисел; пусть $a_1 = \pm6, a_2 = \pm7 ,..., a_6 = \pm11.$ Второй набор содержит девять чисел; пусть $b_1 = \pm9, b_2 = \pm10 ,..., b_9 = \pm17.$

По условию имеем сумму:

$\beginalignS = левая круглая скобка a_1 плюс b_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_1 плюс b_2 правая круглая скобка плюс . . . плюс левая круглая скобка a_1 плюс b_9 правая круглая скобка плюс , плюс левая круглая скобка a_2 плюс b_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_2 плюс b_2 правая круглая скобка плюс . . . плюс левая круглая скобка a_2 плюс b_9 правая круглая скобка плюс , . . . плюс левая круглая скобка a_6 плюс b_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_6 плюс b_2 правая круглая скобка плюс . . . плюс левая круглая скобка a_6 плюс b_9 правая круглая скобка .\endalign$

Нетрудно видеть, что

$S = 9 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс . . . плюс a_6 правая круглая скобка плюс 6 левая круглая скобка b_1 плюс b_2 плюс . . . плюс b_9 правая круглая скобка ,$

или

$S = 9A плюс 6B,$

где $A = a_1 плюс a_2 плюс . . . плюс a_6$ и $B = b_1 плюс b_2 плюс . . . плюс b_9.$

1)  Очевидно, что сумма S будет наибольшей, если все числа взять с плюсом:

$S_max = 9 умножить на левая круглая скобка 6 плюс 7 плюс . . . плюс 11 правая круглая скобка плюс 6 умножить на левая круглая скобка 9 плюс 10 плюс . . . плюс 17 правая круглая скобка = 1161.$

2)  Заметим, что среди чисел a₁ ,..., a₆ ровно три нечётных. Сумма нечётного числа нечётных чисел нечётна; значит, A нечётно. Поэтому и S = 9A + 6B нечётно (поскольку 6B чётно).

Кроме того, S делится на 3 (поскольку 9A и 6B делятся на 3).

Наименьшее по модулю нечётное число, делящееся на 3, есть 3. Стало быть, $|S| больше или равно 3$ (оценка).

Приведём пример расстановки знаков, при которой в оценке достигается равенство:

$9 умножить на левая круглая скобка минус 6 плюс 7 минус 8 плюс 9 плюс 10 минус 11 правая круглая скобка плюс 6 умножить на левая круглая скобка минус 9 плюс 10 минус 11 минус 12 минус 13 минус 14 плюс 15 плюс 16 плюс 17 правая круглая скобка = 3.$ $9 умножить на левая круглая скобка минус 6 плюс 7 минус 8 плюс 9 плюс 10 минус 11 правая круглая скобка плюс$
$плюс 6 умножить на левая круглая скобка минус 9 плюс 10 минус 11 минус 12 минус 13 минус 14 плюс 15 плюс 16 плюс 17 правая круглая скобка = 3.$

Таким образом, |S|_min = 3.

Ответ: 3 и 1161.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение п. а;   — обоснованное решение п. б;   — искомая оценка в п. в;   — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: 3 и 1161.

507489

3 и 1161.

Источник: ЕГЭ  — 2010

Классификатор алгебры: ЕГЭ  — 2010, Числовые наборы на карточках и досках

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507489	3 и 1161.