РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 507284 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Финансовая математика. Кредиты

31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31  декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение. Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют $a\%.$ Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент $b=1 плюс 0,01a.$ После первой выплаты сумма долга составит $S_1=Sb минус X.$ После второй выплаты сумма долга составит

$S_2=S_1b минус X= левая круглая скобка Sb минус X правая круглая скобка b минус X=Sb в квадрате минус левая круглая скобка 1 плюс b правая круглая скобка X.$

После третей выплаты сумма оставшегося долга равна

$S_3=Sb в кубе минус левая круглая скобка 1 плюс b плюс b в квадрате правая круглая скобка X=Sb в кубе минус дробь: числитель: b в кубе минус 1, знаменатель: b минус 1 конец дроби умножить на X.$

По условию тремя выплатами Тимофей погасил кредит полностью, поэтому

$Sb в кубе минус дробь: числитель: b в кубе минус 1, знаменатель: b минус 1 конец дроби умножить на X=0,$

откуда $X= дробь: числитель: Sb в кубе левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка b в кубе минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Рассуждая аналогично, находим, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными выплатами, то каждый год он должен был бы выплачивать $Y= дробь: числитель: Sb в квадрате , знаменатель: b плюс 1 конец дроби$ рублей. Значит, он отдал банку на $3X минус 2Y$ больше.

При $S=7 007 000$ и $a = 20$ получаем $b=1,2$ и

$X= дробь: числитель: 7007000 умножить на 1,728 умножить на 0,2, знаменатель: 0,728 конец дроби =3326400$ (рублей);

$Y= дробь: числитель: 7007000 умножить на 1,44, знаменатель: 2,2 конец дроби =4586400$ (рублей).

Значит, $3X минус 2Y=806400.$

Ответ: 806 400.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 806 400.

507284

806 400.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507284	806 400.