РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?

Решение. Ясно, что за 8 месяцев Павел Витальевич не справится с выплатой долга, поскольку он вернет банку не более $125000 умножить на 8=1000000$ рублей, а общий долг будет больше миллиона рублей, поскольку банк еще начисляет проценты.

Покажем, что на 9 месяцев кредит брать можно. Пусть ежемесячный платеж будет равен 125 000 рублей. Через месяц задолженность Павла Витальевича перед банком составит 1 010 000 рублей, затем Павел Витальевич выплачивает 125 000 и долг составляет 885 000. Затем банк начисляет процент, но 1  процент от оставшейся суммы будет уже меньше, чем 10 000 рублей, и в дальнейшем будет тем более меньше. Поэтому задолженность через два месяца будет меньше 895000, а после очередного платежа  — меньше 770 000 рублей.

Аналогично, через 3 месяца задолженность будет меньше 780000, а после платежа  — меньше 655 000 рублей. Через 4 месяца задолженность будет меньше 665 000, а после платежа  — меньше 540 000 рублей. Через 5 месяцев задолженность будет меньше 550 000, а после платежа  — меньше 425 000 рублей.

Через 6 месяцев задолженность будет меньше 435 000, а после платежа  — меньше 310 000 рублей. Через 7 месяцев задолженность будет меньше 320 000, а после платежа  — меньше 195 000 рублей. Через 8 месяцев задолженность будет меньше 205 000, а после платежа  — меньше 80 000 рублей. Таким образом, через 9 месяцев задолженность заведомо не будет превышать 90 000 рублей, и своим последним платежом Павел Витальевич полностью расплатится с банком.

Ответ: на 9 месяцев.

Приведём другое решение.

За 8 месяцев Павел Витальевич не справится с выплатой долга, так как он вернет банку не более $125000 умножить на 8=1000000$ рублей, а общий долг будет больше миллиона рублей, поскольку банк еще начисляет проценты. За 9 месяцев сумма долга увеличится не более чем на девять сумм процентов первого месяца, то есть не более чем на 90 000 рублей. Следовательно, выплатить кредит можно за 9 месяцев.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507278	на 9 месяцев.

Ключ