РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом $целая часть: 11, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 \%$ и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на $целая часть: 104, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 \%.$ Определите срок хранения вклада.

Решение. Известно:

1.  Проценты на вклад начислялись ежемесячно.

2.  Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.

Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась k месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в $1 плюс 5 умножить на 0,01$ раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.

При изменении процентной надбавки с $5\%$ на $12\%$ (ставка $12\%$ продержалась m месяцев) первоначальная сумма вклада за $левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка$ месяцев увеличится в $левая круглая скобка 1 плюс 0,05 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 0,12 правая круглая скобка в степени m = левая круглая скобка дробь: числитель: 21, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка в степени k умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени m$ раза.

Предположим, что процентная ставка $целая часть: 11, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 %= дробь: числитель: 100, знаменатель: 9 конец дроби %$ продержалась n месяцев, а процентная ставка $12,5% = дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби %$ продержалась t месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:

$левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 100, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 0,01 правая круглая скобка в степени n = левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени n }$ и $левая круглая скобка 1 плюс 12,5 умножить на 0,01 правая круглая скобка в степени t = левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени t .$

Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 21, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка в степени k умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени m умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени n умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени t = дробь: числитель: 3 в степени k умножить на 7 в степени k умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка умножить на 7 в степени m умножить на 2 в степени n умножить на 5 в степени n умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка умножить на 5 в степени k умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2m плюс n правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 2t правая круглая скобка умножить на 5 в степени n умножить на 7 в степени левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k плюс 3t правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка k плюс 2m правая круглая скобка конец дроби .$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 21, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка в степени k умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени m умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени n умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени t =$
$= дробь: числитель: 3 в степени k умножить на 7 в степени k умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка умножить на 7 в степени m умножить на 2 в степени n умножить на 5 в степени n умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка умножить на 5 в степени k умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2m плюс n правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 2t правая круглая скобка умножить на 5 в степени n умножить на 7 в степени левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k плюс 3t правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка k плюс 2m правая круглая скобка конец дроби .$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 21, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка в степени k умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени m умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени n умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени t =$
$= дробь: числитель: 3 в степени k умножить на 7 в степени k умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка умножить на 7 в степени m умножить на 2 в степени n умножить на 5 в степени n умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка умножить на 5 в степени k умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2m правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2m плюс n правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 2t правая круглая скобка умножить на 5 в степени n умножить на 7 в степени левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k плюс 3t правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка k плюс 2m правая круглая скобка конец дроби .$

С другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на $целая часть: 104, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 %= дробь: числитель: 625, знаменатель: 6 конец дроби %,$ то есть в

$левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 625 умножить на 0,01, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 6 плюс 6,25, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 12,25, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1225, знаменатель: 600 конец дроби = дробь: числитель: 49, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 7 в квадрате , знаменатель: 2 в кубе умножить на 3 конец дроби$ раза.

Значит,

$дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2m плюс n правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 2t правая круглая скобка умножить на 5 в степени n умножить на 7 в степени левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k плюс 3t правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка k плюс 2m правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 7 в квадрате , знаменатель: 2 в кубе умножить на 3 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2m плюс n минус 2k минус 3t правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 2t минус 2n правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка n минус k минус 2m правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 7 в квадрате .$ $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2m плюс n правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 2t правая круглая скобка умножить на 5 в степени n умножить на 7 в степени левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2k плюс 3t правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка k плюс 2m правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 7 в квадрате , знаменатель: 2 в кубе умножить на 3 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2m плюс n минус 2k минус 3t правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка k плюс 2t минус 2n правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка n минус k минус 2m правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 7 в квадрате .$

Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:

$система выражений новая строка 2m плюс n минус 2k минус 3t= минус 3 , новая строка k плюс 2t минус 2n= минус 1 , новая строка n минус k минус 2m=0, новая строка k плюс m=2 . конец системы .$

Решим эту систему относительно натуральных $k,m,n$ и $t.$ Из последнего уравнения системы имеем: $k=m=1.$ При этих значениях k и m система примет вид:

$система выражений новая строка 2 плюс n минус 2 минус 3t= минус 3 , новая строка 1 плюс 2t минус 2n= минус 1 конец системы .$ $равносильно система выражений новая строка n минус 3t= минус 3 , новая строка 2t минус 2n= минус 2 конец системы . равносильно система выражений новая строка n минус 3t= минус 3 , новая строка t минус n= минус 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 2t= минус 4 , новая строка t=n минус 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка t=2 , новая строка n=t плюс 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка t=2 , новая строка n=3 . конец системы .$

Итак, $k плюс m плюс n плюс t=1 плюс 1 плюс 3 плюс 2=7,$ вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях $k,m,n$ и t $n минус k минус 2m$ действительно равно нулю.

Ответ: 7.

Примечание.

Более простой вариант этой задачи см. в номерах 620478, 620778, 635568 и 532959.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	3
Получено верное выражение для ежегодного платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
С помощью верных рассуждений получено уравнение, из которого может быть найдено значение ежегодного платежа, но коэффициенты уравнение неверные из-за ошибки в вычислениях.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506948	7.

Ключ