PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем заданное уравнение.
Поскольку 
будем иметь:
Разобьем это неравенство на две системы неравенств:
(1)
(2)
Заметим, что 
для каждого 
так как 
Каждую из этих систем будем рассматривать отдельно.
Рассмотрим систему (1).
Решим первое её неравенство.
Решим второе неравенство.
Решением системы неравенств (1) является множество 
Теперь рассмотрим систему (2).
Решим первое неравенство этой системы.
Решим второе неравенство той же системы.
Итак, решением системы (2) будет множество 
Ответ: 
Решение задачи проведем с помощью исследования расположения корней квадратного трехчлена.
Имеем: 
Введем новую переменную: пусть 
Тогда 
Как было показано выше, дискриминант квадратного трехчлена относительно t при всех 
положителен. Ветви параболы, т. е., графика функции 
направлены вверх.
Найдем значения a, при которых 
Их удобно искать, решив 3 системы неравенств. Если 
— абсцисса вершины параболы, 
то:
1)
т. е.
Система несовместна.
2)
т. е.
Система несовместна.
3) ##
т. е.
Таким образом, только при 
Поскольку при остальных значениях квадратный трехчлен относительно t будет иметь хотя бы один действительный корень, удовлетворяющий условию 
то искомым множеством значений а будет множество 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |