Ре­ше­ние. а)  Для про­сто­ты рас­суж­де­ний до­ба­вим мыс­лен­но одну банку мас­сой ноль. Пер­вое взве­ши­ва­ние зав­хоз ор­га­ни­зу­ет так: на одну чашку кла­дет 27 самых тя­же­лых банок, а на дру­гую  — 27 самых лег­ких. По­лу­ча­ет­ся мак­си­маль­но воз­мож­ная раз­ность. Осталь­ные участ­ни­ки экс­пе­ди­ции долж­ны при­знать, что раз­би­е­ние на три груп­пы про­из­ве­де­но пра­виль­но: (27 тя­же­лых, 27 сред­них, 27 лег­ких). Зав­хоз по­ме­ча­ет банки бук­ва­ми «т», «с», «л». Вто­рое и сле­ду­ю­щие взве­ши­ва­ния ор­га­ни­зу­ют­ся ана­ло­гич­но. Пусть банки после k-го взве­ши­ва­ния раз­би­ты на 3^k групп по 3^4 − k банок, по­ме­чен­ных не­ко­то­рым k-бук­вен­ным сло­вом из букв т, с, л. Из каж­дой груп­пы бе­рет­ся треть самых тя­же­лых и треть самых лег­ких; тя­же­лые кла­дут­ся на одну чашу весов, а лег­кие  — на дру­гую. В итоге, каж­дая треть каж­дой груп­пы опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но и об­ра­зу­ет груп­пу сле­ду­ю­ще­го ранга, а банки по­ме­ча­ют­ся еще одной бук­вой «т», «с», или «л». После 4-го взве­ши­ва­ния груп­пы будут со­сто­ять из одной банки, при этом все банки по­ме­ча­ют­ся сло­вом из 4-х букв. Такое слово од­но­знач­но ука­зы­ва­ет банку, и за­да­ча ре­ше­на.

б)  Пусть про­ве­де­но три взве­ши­ва­ния. Каж­дая банка при пер­вом взве­ши­ва­нии либо ока­за­лась на той чашке весов, ко­то­рая пе­ре­ве­си­ла, либо на дру­гой, либо во­об­ще не взве­ши­ва­лась. В за­ви­си­мо­сти от этого по­ме­тим каж­дую банку бук­вой «т», «л» или «с» (это зна­чит, что банка не взве­ши­ва­лась). Ана­ло­гич­ным об­ра­зом ста­вим букву при вто­ром и тре­тьем взве­ши­ва­нии. Слов из трех букв всего 27, а банок 80, зна­чит, най­дут­ся по мень­шей мере две банки с оди­на­ко­вой под­пи­сью. Зна­чит, мы не можем их раз­ли­чить, по­это­му трех взве­ши­ва­ний не­до­ста­точ­но.