Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, угол AOC равен 60 градусов. Найдите угол AMC, где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. 1) Исходный треугольник остроугольный (∠B < 90°), рисунок справа. Острый вписанный угол, опирающийся на дугу AC, в 2 раза меньше центрального, то есть ∠ABC = 30°. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис, поэтому из треугольника ABC получаем:
Из треугольника AMC получим:
2) Исходный треугольник тупоугольный (
), рисунок слева (для экономии места изображена часть окружности). Тупой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, находится как разность 
и острого вписанного угла: тогда 
Далее аналогично первому случаю: из треугольника ABC получаем: 
Из треугольника AMC получим:
Ответ: 105° или 165°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |