PDF-версии: 
Через середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если длина бокового ребра равна 4, а угол между боковыми ребрами, лежащими в одной грани, равен 60°.
Решение. Поскольку угол между ребрами равен 
грани — равносторонние треугольники, то есть все ребра пирамиды равны 4.
Пусть это пирамида SABCD, а сечение перпендикулярно ребру SD. Треугольники BDA и BDS равны по трем сторонам, поэтому 
Кроме того 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит, прямые, параллельные BS и AC, проходящие через точки в плоскости, лежат в плоскости.
Проведем прямую, параллельную SB через середину высоты HS. Тогда в треугольнике SHB она будет средней линией, то есть делит HB пополам и DB (и заодно DS) в отношении 
Если провести через ее точку пересечения с BD прямую, паралельную AC, она пройдет через середины ребер AB, BC (точки E, F соответственно). Проведем через них прямые, параллельные SB — средние линии в гранях. Получим, что середины ребер SC, SA (точки K, L) лежат в сечении. Наконец, там же лежит точка M, делящая SD в отношении 
Найдем теперь площадь 
Прямая, параллельная SB, проходящая через середину высоты HS, будет высотой и треугольника и параллелограмма (на самом дле он прямоугольник). Ясно, что высота треугольника 1, а параллелограмма — 2. Поэтому 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |