PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет на отрезке [−2; 3] нечетное число различных корней.
Решение. Заметим для начала, что уравнение 
имеет не более одного корня на этом промежутке, а уравнение 
имеет конечное число корней на любом конечном отрезке (между любыми двумя корнями функции 
лежит корень ее производной 
а между любыми двумя ее корнями лежит корень ее производной 
которых уж точно конечное число на любом отрезке). Кроме того, 
для всех корней уравнения, что может давать дополнительные ограничения на отрезок, где мы ищем решения.
Разберем несколько случаев.
1) 
Тогда уравнение корней не имеет, поскольку левая часть всегда не меньше 
Уравнение 
имеет единственный корень 
который лежит на нужном промежутке.
2) 
Тогда уравнение не имеет корней на указанном промежутке, более того — 
на всем промежутке. Поэтому надо иссследовать только корни уравнения 
Очевидно, если x корень данного уравнения, то 
— тоже его корень. Более того, у него не может быть корней на 
поскольку при 
имеем 
Значит, все его корни на промежутке 
обычно разбиваются на пары и поэтому их четное число. Единственное исключение — если один из этих корней равен нулю, тогда 
Это еще один ответ.
3) 
Тогда работает логика предыдущего случая за исключением того, что появляется дополнительный корень без пары 
поэтому корней также нечетное количество.
4) 
Тогда уравнение имеет четное число корней на отрезке 
уравнение имеет корень 
Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение на интервале 
Докажем, что этих корней нет.
Рассмотрим функцию 
При 
имеем 
поэтому 
При 
имеем 
поэтому 
5) 
Тогда уравнение имеет четное число корней на отрезке один из которых совпадает с корнем уравнения 
6) 
Тогда уравнение имеет четное число корней на интервале 
уравнение имеет корень 
Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение на отрезке 
Докажем, что этих корней нет.
Рассмотрим функцию При 
имеем 
поэтому 
При 
имеем 
поэтому 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |