Ре­ше­ние. а)  Во время пер­во­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки с чётными но­ме­ра­ми. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки с нечётными но­ме­ра­ми: 1, 3, …, 47, 49.

Во время вто­ро­го про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 4 дают в остат­ке 3: 47, 43, 39, …, 3. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 4 дают в остат­ке 1: 1, 5, …, 45, 49.

Во время тре­тье­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых дают при де­ле­нии на 8 в остат­ке 5: 5, 13, 21, 29, 37, 45. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 8 дают в остат­ке 1: 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49.

Во время четвёртого про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 16 дают в остат­ке 9: 41, 25, 9. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 16 дают в остат­ке 1: 1, 17, 33, 49.

Во время пя­то­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых дают при де­ле­нии на 32 в остат­ке 17: 17, 49. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 32 дают в остат­ке 1: 1, 33.

Во время ше­сто­го про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ку 1, номер ко­то­рой при де­ле­нии на 64 даёт в остат­ке 1. От­кры­той оста­нет­ся ячей­ка 33, номер ко­то­рой при де­ле­нии на 64 даёт в остат­ке 33.

Таким об­ра­зом,

б)  Пред­по­ло­жим, что на­шлось n, такое, что т. е. по­след­ней от­кры­той ячей­кой яв­ля­ет­ся ячей­ка с но­ме­ром 2013.

Пре­жде всего, за­ме­тим, что если n  — чётно, то по­сколь­ку по­след­няя ячей­ка с но­ме­ром n будет за­кры­та при пер­вом про­хо­де ряда слева на­пра­во, таким об­ра­зом, если бы эта ячей­ка от­сут­ство­ва­ла, то на зна­че­нии но­ме­ра по­след­ней от­кры­той ячей­ки это бы не от­ра­зи­лось. Зна­чит, можно счи­тать n нечётным. Во время пер­во­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки с чётными но­ме­ра­ми. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки с нечётными но­ме­ра­ми, то есть с но­ме­ра­ми m, да­ю­щи­ми при де­ле­нии на 4 в остат­ке 1 или 3.

Число 2013 при де­ле­нии на 4 даёт в остат­ке 1. По­сколь­ку эта ячей­ка оста­лась от­кры­той, то во время вто­ро­го про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 4 дают в остат­ке 3. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки с но­ме­ра­ми m, да­ю­щи­ми при де­ле­нии на 4 в остат­ке 1, то есть с но­ме­ра­ми, да­ю­щи­ми при де­ле­нии на 8 в остат­ке 1 или 5.

По­сколь­ку ячей­ка с но­ме­ром 1 оста­лась от­кры­той, то во время тре­тье­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 8 дают в остат­ке 5. Число 2013 при де­ле­нии на 8 даёт в остат­ке 5. Зна­чит, она долж­на быть за­кры­та во время тре­тье­го про­хо­да ряда. По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие. Сле­до­ва­тель­но, не су­ще­ству­ет на­ту­раль­но­го числа n, та­ко­го что

в)  Пусть где тогда После пер­вых шести про­хо­дов из пер­вых 50 ячеек оста­нет­ся от­кры­той одна ячей­ка с но­ме­ром 33, а ко­ли­че­ство от­кры­тых ячеек с но­ме­ра­ми, боль­ши­ми 50, умень­шит­ся в раз и будет равно Если то после каж­дой пары про­хо­дов слева на­пра­во и спра­ва на­ле­во ячей­ка с но­ме­ром  33 будет оста­вать­ся от­кры­той, а ко­ли­че­ство ячеек с но­ме­ра­ми, боль­ши­ми 50, будет умень­шать­ся в 4 раза. В конце кон­цов, оста­нут­ся от­кры­ты­ми 2 ячей­ки: одна  — с но­ме­ром 33, и дру­гая  — с каким‐⁠то но­ме­ром, боль­шим 50, ко­то­рая будет за­кры­та во время по­след­не­го про­хо­да слева на­пра­во. Зна­чит,

Ответ: а)  33; в)  33.