PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Умножим обе части уравнения на −2 и заменим выражения 
и 
выражениями, тождественно равными 
и 
соответственно. Правую часть уравнения перенесем в левую часть с изменением знака каждого слагаемого на противоположный: 
Преобразуем левую часть последнего уравнения, выделяя при этом полный квадрат разности 
Далее будем иметь:
Докажем, что ни при каких значениях x выражение 
в нуль не обращается. Для этого достаточно оценить выражение сверху и снизу. Известно, что 
Эти неравенства одинакового смысла, следовательно, их можно сложить: 
А теперь к каждой части последнего неравенства прибавим 4. Получим: 
Таким образом, мы убедились, что 
при любом значении переменной 
Следовательно, заданное уравнение равносильно уравнению 
Решим его:
б) Заметим, что 
так как 
(неравенство очевидное). Также легко убеждаемся в справедливости неравенства 
поскольку 
В промежутке 
лежит единственный корень уравнения 
равный нулю. Отрезку 
принадлежат два корня уравнения 
и 
Однако 
так как 
Корень 
будет искомым, поскольку 
То, что 
очевидно. Докажем, что 
Действительно, 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б)