PDF-версии: 
Даны 20 различных натуральных чисел, меньших 70. Докажите, что среди их попарных разностей найдутся четыре одинаковых.
Решение. Обозначим наши числа 
Причем, пусть для определенности, они стоят в порядке возрастания:
Рассмотрим теперь набор чисел 
таких, что 
(то есть, увеличим все данные числа на единицу). Если у этих двух наборов есть хотя бы 4 общих числа, то задача решена, поскольку найдутся 4 разности, равные единице. Пусть нет, тогда в наборе bn по крайней мере 17 новых чисел, не содержащихся в 
Тогда рассмотрим набор чисел 
таких, что 
Если в наборе cn есть хотя бы четыре общих числа с набором или 4 числа общих с набором 
то задаче решена. Пусть нет, тогда в наборе cn по крайней мере 14 новых чисел, которых нет в наборах an и 
Аналогично построим наборы 
(каждый раз увеличивая все числа предыдущего набора на единицу). Ясно, что самое большое из всех рассмотренных чисел не больше, чем 
то есть не больше 75. В тоже время в совокупности всех наборов не менее, чем
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |