PDF-версии: 
В окружности проведены хорды KL, MN, PS. Хорды KL, PS пересекаются в точке С, хорды KL, MN пересекаются в точке А, хорды MN и PS пересекаются в точке В, причем AL = CK, AM = BN, BS = 5, BC = 4. Найдите радиус окружности, если величина угла ВАС равна 45 градусам.
Решение. Опишем около треугольника АВС окружность с центром в точке О. Докажем, что эта точка совпадет с центром заданной окружности.
Точки А и С лежат внутри заданной окружности. Кроме того, эти точки и точки К и L — точки одной и той же прямой, причем LА = СК. Значит, серединные перпендикуляры к отрезкам АС и КL совпадают. По аналогичной же причине совпадут также серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и МN. А это значит, что центры двух окружностей совпадут, т. е. точка О окажется центром заданной окружности.
По условию 
Это значит, что 
BO = CO как радиусы одной и той же окружности.
Пусть основанием высоты 
проведенной к ВС, будет Н. Тогда 
Кроме того, 
значит, 
OH = BH = 2.
Случай 1. Точка В лежит между S и С (рис. 1).
В прямоугольном треугольнике OHS
т. е 
Случай 2. Точка С лежит между S и В (рис. 2).
Тогда 
т. е. 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или