PDF-версии: 
Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например 123456 — 612345), и полученное шестизначное число прибавили к исходному числу. Какие числа из промежутка [891870; 891899] могли получиться в результате сложения?
Решение. Пусть десятичная запись шестизначного числа такова: 
Тогда оно равно
А после перестановки последней цифры в начало получается число 
Найдём сумму исходного и изменённого чисел:
Таким образом, сумма будет делиться на 11 вне зависимости от первоначального шестизначного числа.
Из промежутка [891870; 891899] на 11 делятся только числа 891880 и 891891. Проверим каждое из них.
Пусть исходное число имело последнюю цифру 
Тогда его можно записать в виде 
где k — натуральное пятизначное число. Тогда сумму исходного числа и измененного числа из равенства (1) можно записать так: 
Рассмотрим уравнение: 
Пусть 
тогда 
Значит, число 891880 могло получиться. Аналогично получаем уравнение 
Пусть тогда 
Значит, число 891891 могло получиться.
Ответ: 891880 и 891891.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |