PDF-версии: 
Найдите все целые значения n, для каждого из которых число 
Будет рациональным.
Решение. Сразу заметим, что 
Кроме того, 
так как 
для всех 
Из условия следует, что 
где 
— натуральные. Перепишем иначе: 
или 
Так как 
получаем, что 
Докажем, что 
В самом деле, разделим обе части равенства (1) на 
получается, что 
Левая часть — целое число, значит, и правая часть — целое число. Значит, 
Теперь, заметим, что 
— нечётное число, а значит, из равенства (1), 
тоже нечётно. Значит, n нечётно. Пусть 
Тогда получаем, что 
То есть, дробь 
является целым числом. Выделим целую часть: 
не подходит, 
— годится,
получаем, что 
Таким образом, дробь является целым числом лишь при 
Отсюда 
Ответ: 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |