PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Перепишем уравнение в виде 
Сделав в нем замену 
мы получим квадратное уравнение 
причем каждый его корень на промежутке 
даст две бесконечных серии решений, а каждый корень, равный 
— одну серию.
Разберем все возможности.
1) У уравнения есть корень 
то есть 
откуда 
То есть это уравнение 
Его корни 
дают решения 
и это действительно арифметическая прогрессия.
2) У уравнения есть корень 
то есть 
откуда 
То есть это уравнение 
Его корни 
и 
Если 
или 
то уравнение 
не имеет корней, поэтому все корни исходного уравнения это 
Это действительно арифметическая прогрессия.
Если 
то этот случай уже разобран.
Если 
то 
и новых корней уравнение не дает, поэтому все корни исходного уравнения это Это действительно арифметическая прогрессия.
Если же 
то уравнение дает еще по 2 корня на каждом промежутке длины 
Поэтому разность прогрессии должна составлять 
Значит, 
поэтому 
В этом случае все корни исходного уравнения 
Это действительно арифметическая прогрессия.
3) Корней 
нет, при этом есть один корень на интервале 
Он даст по два корня исходного уравнения на каждом промежутке длины 
поэтому разность прогрессии должна быть 
В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны 
и 
Тогда 
откуда 
или 
Случай уже разобран, он не подходит.
При 
имеем уравнение 
или 
Уравнение 
корней не имеет, поэтому такое a подходит.
4) Корней нет, при этом есть два корня на интервале Они дадут по два корня исходного уравнения на каждом промежутке длины поэтому разность прогрессии должна быть 
В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны
и 
Тогда сумма корней уравнения 
должна быть равна 0, и мы получаем уже разобранный случай (корни там совсем не такие, но это уже неважно)
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |