Ре­ше­ние. а)  Пусть b₁  — пер­вый член про­грес­сии, а q  — ее зна­ме­на­тель. Тогда сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, взя­тые в по­ряд­ке воз­рас­та­ния, равны По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Со­кра­тив на по­лу­ча­ем урав­не­ние Число q  — ра­ци­о­наль­ное, по­ло­жим   — не­со­кра­ти­мая дробь, числа p и r на­ту­раль­ные. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да или Но тогда r  =  1, по­сколь­ку p и q вза­им­но про­сты, а m > k. Итак, имеем: По­лу­чен­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний ни для каких на­ту­раль­ных р, по­сколь­ку про­стые де­ли­те­ли пра­вой части не яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми девой части. Про­ти­во­ре­чие.

б)  До­мно­жим ра­вен­ство на по­лу­чим Числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью n и яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Тре­бу­е­мое до­ка­за­но.