Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Числа p_n будут на­ту­раль­ны­ми, если n равно 4, 6, 8, 10, … Тогда k равно 4; 4,5; 5; 5,5; …, а [k] равна 4, 4, 5, 5, …

а)  В этом пунк­те n равно 4, 6, 8, 10, и числа p_n равны 4, 5, 6, 7. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно 5,5. Целая часть сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го равна 5. Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ное зна­че­ние A (по­сколь­ку A долж­но быть на­ту­раль­ным) равно или 4, а мак­си­маль­ное зна­че­ние равно то есть 7.

б)  Число по­это­му Со­ста­вим таб­ли­цу для пер­вых зна­че­ний n.

n	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
pn	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
k	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10
	4	4	5	5	6	6	7	7	8	8	9	9	10

Про­вер­кой убеж­да­ем­ся, что наи­мень­шее n, при ко­то­ром усло­вие вы­пол­ня­ет­ся, равно 24. Дей­стви­тель­но, если взять наи­боль­шие числа по­лу­чим Од­на­ко число А в этом слу­чае равно то есть не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным. Про­дол­жая пе­ре­бор, на­хо­дим, что при n  =  28 число Этим най­де­но наи­мень­шее на­ту­раль­ное число n, при ко­то­ром все усло­вия вы­пол­не­ны.

в)  Из опре­де­ле­ния и усло­вия за­клю­ча­ем, что Изу­чая таб­ли­цу из пунк­та б), подыс­ки­ва­ем среди чисел p_n два числа, да­ю­щих в про­из­ве­де­нии 40. Наи­мень­шее такое n равно 12: 5 · 8  =  40. Од­на­ко со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным. Про­дол­жая пе­ре­бор, для n  =  20 на­хо­дим Этим най­де­но ис­ко­мое число n.

Ответ: а) 4 и 7; б) 28; в) 20.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б)

За­ме­тим, что по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет, зна­чит, мак­си­мум про­из­ве­де­ния до­сти­га­ет­ся на про­из­ве­де­нии двух по­след­них чисел по­сле­до­ва­тель­но­сти Не­труд­но за­ме­тить, что при этом зна­чит, а ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся при n крат­ном 4. Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ство будет верно для тех же n что и ис­ход­ное не­ра­вен­ство, за ис­клю­че­ни­ем, воз­мож­но, од­но­го мень­ше­го. Решим по­след­нее не­ра­вен­ство

Ми­ни­маль­ное n, удо­вле­тво­ря­ю­щее по­след­не­му не­ра­вен­ству, равно 24. Не­труд­но про­ве­рить, что числа 23, 24, 25, 26 и 27 не удо­вле­тво­ря­ют всем ис­ход­ным усло­ви­ям, а при n  =  28 можно по­до­брать не­об­хо­ди­мый набор чисел.