Дан треугольник АВС, в котором АС = СВ, а синус угла С равен 1. Треугольник ABD — равнобедренный, с боковой стороной равной 10. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение. Синус угла С равен 1, поэтому угол С прямой, а треугольник АВС прямоугольный. По условию этот треугольник равнобедренный, пусть его катеты 
Рассмотрим два случая, изображенных на рисунке.
Случай 1: AB = BD = 10. Из равенства 
находим 
а значит, 
Случай 2: AD = BD = 10. В силу неравенства треугольника имеем: 
то есть
Следовательно, 
Заметим, что второй случай включает в себя первый.
Ответ: любое число, принадлежащее интервалу (0; 100).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |