РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения

конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите:

а)  наименьшее такое число,

б)  все такие числа.

Решение. 1)  Пусть через t минут на ленте лежат деталей типа A и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ деталей типа $B .$ Так как $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ имеют разную четность, то может принимать только значения 1, 3, 5. Так как каждую минуту добавляется деталь того типа, которого на ленте меньше, а убирается произвольная деталь, то $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ либо не изменяется, либо уменьшается. Так как по условию исходное расположение повторяется через n минут (а значит, и через $2n ,$ $3n$ и т. д.), то получаем, что величина $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ не изменяется при всех $t .$

2)  Допустим, что $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |\geqslant3.$ Так как $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ не изменяется, а $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ могут меняться только на 1, то $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ также не изменяются. Тогда добавляется всегда деталь одного и того же типа и при этом деталь того же типа всегда снимается. Это означает, что исходно на ленте все детали одного типа и деталь того же типа добавляется. Это противоречит правилу подготовки следующей детали. Следовательно, $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |=1$ при всех $t.$

3)  Пусть $a_1,a_2,...,a_76,a_77$   — типы деталей (A или B), которые стояли исходно на конвейере и добавлялись в последующие моменты. Мы показали, что при любом i среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 78$ 38 раз встречается A и 37 раз встречается B и тогда $a_i плюс 76=B,$ либо все наоборот. В любом случае при каждом i среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 76$ A и B встречаются по 38 раз.

4)  Так как среди $a_i,...,a_i плюс 75$ A и B встречаются по 38 раз и среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 76$ A и B встречаются по 38 раз, то $a_i плюс 76=a_i$ (при каждом i ). Таким образом, 76 – период последовательности $a_1,a_2,...,a_76,....$

5)  Пусть через n минут ситуация на конвейере впервые повторилась. Тогда n  — период последовательности $a_1,a_2,...,a_76,a_77.$ Обратно, если q  — период этой последовательности, то через q минут ситуация на конвейере повторяется. Следовательно, n  — минимальный период последовательности $a_1,a_2, ..., a_76,a_77,....$

6)  Известно (и легко показать), что минимальный период является делителем любого периода. Следовательно, 76 делится на n , то есть период длины n укладывается целое число раз на отрезке последовательности длины 76. Так как на любом отрезке длины 76 детали A и B встречаются одинаковое число раз, то это же верно и для периода длины $n .$ Отсюда следует, что n  — четное число и возможно только $n = 2, 4, 38, 76.$

7)  Пусть $n = 2k$ и 76 делится на $n .$ Построим бесконечную последовательность, в которой сначала k раз стоит A, затем k раз стоит B, и затем все повторяется с периодом $2k .$ Эта последовательность будет порождаться в нашей задаче, если в качестве исходного расположения деталей на конвейере взять первые 75 элементов последовательности, причем впервые исходная ситуация повторится ровно через $2k$ минут. Таким образом, все значения $n = 2 , 4, 38, 76$ могут реализоваться.

Ответ: a) 2; б) 2, 4, 38, 76.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505813	a) 2; б) 2, 4, 38, 76.

Ключ