PDF-версии: 
Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.
а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а её центр находится на вершине A квадрата ABCD.
б) Найдите угол MAN.
Решение. а) Обозначим
тогда 
Отметим на MN точку T такую, что 
На продолжении CB а точку B отметим точку K так, чтобы 
Тогда 
Треугольники ABK и ADN равны по двум катетам, следовательно, 
Значит, треугольники AKM и ANM равны по трем сторонам. Тогда 
поэтому A лежит на биссектрисе угла KMN.
Очевидно, A лежит также на биссектрисе угла MCN — диагонали квадрата. Значит, A — центр вневписанной окружности. При этом 
поэтому B и D — точки касания.
б) Заметим, что треугольники ABM и ATM равны по двум сторонам и углу между ними (
AM — общая). Значит, 
Кроме того, 
Тогда треугольники TNA и DNA равны по катету и гипотенузе, поэтому 
Следовательно,
Ответ: 45°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |