В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна $4 корень из 3 .$ Через прямую AB проведено сечение перпендикулярное ребру SC, площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.

Решение.

Пусть длина бокового ребра пирамиды равна x, а плоскость сечения пересекает ребро CD в точке H. По условию $S_ABH=18.$

Пусть M — середина AB. Тогда $MH\perp AB$ (поскольку проекция SC на плоскость основания — прямая CM, перпендикулярная AB, то и проекция OH — прямая CM, перпендикулярная AB). Значит, $MH= дробь: числитель: 2S_ABH, знаменатель: AB конец дроби =3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Рассмотрим треугольник MCS. В нем $SC=x,$ $MC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби AB=6,$ $MH=4.$ Кроме того, высота пирамиды

$SO= корень из: начало аргумента: SC в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби CM правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 16 конец аргумента .$

Вычисляя двумя способами площадь треугольника MCS, имеем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на MC умножить на SO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на SC умножить на MH,$

$6 корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 16 конец аргумента =3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x,$

$4 левая круглая скобка x в квадрате минус 16 правая круглая скобка =3x в квадрате ;$ $x=8.$

Ответ: 8.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: 8.

505779

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 71

Методы геометрии: Метод площадей

Классификатор стереометрии: Правильная треугольная пирамида, Расстояние между точками, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой