РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505760 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 68

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы половинного аргумента

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка плюс 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс синус x.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)   Ограничения на $x:$ $синус x не равно минус 1 равносильно x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ Для таких x будем иметь:

$дробь: числитель: 2 левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка плюс 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс синус x равносильно 2 левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка плюс 2 синус в квадрате x=2 левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс синус x правая круглая скобка равносильно$ $дробь: числитель: 2 левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка плюс 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс синус x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка плюс 2 синус в квадрате x=2 левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс синус x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус x плюс синус x плюс синус в квадрате x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x плюс синус в квадрате x равносильно косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$ $равносильно косинус x плюс синус x плюс синус в квадрате x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x плюс синус в квадрате x равносильно$
$равносильно косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Корни $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ есть посторонние.

Итак, решениями заданного уравнения являются числа вида $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505760

а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 68

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505760	а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$