РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л.

Сколько молока было первоначально в кружках, если

а)  в конце у всех гномов молока оказалось поровну?

б)  в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?

Решение. а)  В конце у всех гномов оказалось по поллитра молока. Значит, перед последним переливанием у четвёртого гнома было 4/3 · 1/2 = 2/3 л, у первого 1/2 – 1/6 = 1/3 л, а у двух остальных  — по поллитра. Аналогично, перед тртьим переливанием у третьего гнома было 2/3 л, у четвёртого 2/3 – 1/6 = 1/2 л, у второго  — тоже поллитра, а у первого  — 1/3 л. Соответственно, перед вторым переливанием у второго гнома было 2/3 л, у третьего и четвёртого  — по поллитра, а у первого  — 1/3 л. Наконец, в начале у 1-го было 4/9 л, у второго 5/9 л, у третьего и четвёртого  — по поллитра.

б)  Раз в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале, то каждый отдал столько же молока, сколько получил. Если у 1-го гнома было 4 части молока, то он перелил второму одну часть, которая должна составить четверть его молока после переливания (чтобы он мог отлить одну часть третьему). То есть у второго было 3 части. Аналогично, у третьего и четвёртого было по 3 части. Значит, отношение объема молока у гномов было 4 : 3 : 3 : 3. Решаем уравнение получаем: 4x + 3x + 3x + 3x + = 2,

Ответ: а) у первого гнома было 4/9 л, у второго  — 5/9 л, у третьего и четвёртого  — по поллитра; б) у первого гнома было 8/13 л, у остальных  — по 6/13 л.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505747	а) у первого гнома было 4/9 л, у второго  — 5/9 л, у третьего и четвёртого  — по поллитра; б) у первого гнома было 8/13 л, у остальных  — по 6/13 л.

Ключ