В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся рёбер равны 12 и 4, а остальные рёбра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.
Решение. Пусть 
— середины этих ребер соответственно. Тогда центр вписанной сферы лежит в бисектральной плоскости, проходящей через ребро BD, то есть в 
(она перпендикудярна AC, поэтому тетраэдр симметричен относительно нее). Аналогично центр лежит и в 
то есть лежит на отрезке 
Очевидно 
(поскольку лежит в плоскостях, перпендикулярных этим отрезкам). Тогда
Тогда
Далее,
Найдем радиус вписанной сферы. Он равен
Итак, на отрезке 
располагается точка на расстоянии 
от плоскости ABC, при этом расстояния от точек 
и 
равны 
и 
Значит, она делит этот отрезок в отношении 
и располагается на расстоянии 
от точки 
Это и есть ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |