РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505742 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 65

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 минус 3 косинус 2x конец аргумента = корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)   Решим уравнение:

$корень из: начало аргумента: 2 минус 3 косинус 2x конец аргумента = корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 2 минус 3 косинус 2x= синус x конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 3 минус 3 косинус 2x минус 1 минус синус x=0 конец системы . равносильно$ $корень из: начало аргумента: 2 минус 3 косинус 2x конец аргумента = корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 2 минус 3 косинус 2x= синус x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 3 минус 3 косинус 2x минус 1 минус синус x=0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 3 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 минус синус x=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 6 синус в квадрате x минус синус x минус 1=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка синус x= дробь: числитель: 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 3 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 минус синус x=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 6 синус в квадрате x минус синус x минус 1=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка синус x= дробь: числитель: 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 3 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 минус синус x=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 6 синус в квадрате x минус синус x минус 1=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка синус x= дробь: числитель: 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка синус x= дробь: числитель: 1\pm 5, знаменатель: 12 конец дроби конец системы . равносильно синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)   $x_1= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: минус 15 Пи плюс 3 Пи плюс Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$

$x_2= минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: минус 11 Пи плюс 4 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Замечание.

Во включении в систему $система выражений новая строка синус x больше или равно 0, новая строка 2 минус 3 косинус 2x= синус x конец системы .$ условия $2 минус 3 косинус 2x больше или равно 0$ надобности нет, так как в процессе решения условие $синус x больше или равно 0$ (правой части второго уравнения) уже обеспечит неотрицательность левой части этого же уравнения.

Ответ: а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505742

а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 65

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505742	а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$