РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505730 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 63

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 5 синус x плюс косинус 2x конец аргумента плюс 2 косинус x=0.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. a)   Последовательно получаем:

$корень из: начало аргумента: 5 синус x плюс косинус 2x конец аргумента плюс 2 косинус x=0 равносильно корень из: начало аргумента: 5 синус x плюс косинус 2x конец аргумента = минус 2 косинус x.$

Очевидно, что равенство возможно только при выполнении условия $косинус x меньше или равно 0,$ т. е. при условии выполнения неравенства $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ Для таких $x:$

$5 синус x плюс косинус 2x минус 4 косинус в квадрате x=0 равносильно 5 синус x плюс косинус 2x минус 4 плюс 4 синус в квадрате x=0 равносильно$

$равносильно 5 синус x минус 1 плюс косинус 2x минус 3 плюс 4 синус в квадрате x=0 равносильно 5 синус x минус 2 синус в квадрате x плюс 4 синус в квадрате x минус 3=0 равносильно$ $равносильно 5 синус x минус 1 плюс косинус 2x минус 3 плюс 4 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно 5 синус x минус 2 синус в квадрате x плюс 4 синус в квадрате x минус 3=0 равносильно$

$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 3=0 равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 25 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус 3 конец совокупности . равносильно$ $равносильно 2 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 3=0 равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 25 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус 3 конец совокупности . равносильно$ $равносильно 2 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 3=0 равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 25 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус 3 конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

Уравнение $синус x= минус 3$ решений не имеет.

б)  Выборка корней:

$минус 2 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 2 Пи n меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 2 меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2n меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 12 меньше или равно 5 плюс 12n меньше или равно минус 3 равносильно минус 17 меньше или равно 12n меньше или равно минус 8 равносильно$ $минус 2 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 2 Пи n меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 2 меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2n меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 12 меньше или равно 5 плюс 12n меньше или равно минус 3 равносильно минус 17 меньше или равно 12n меньше или равно минус 8 равносильно$

$равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно n меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно n= минус 1.$

При $n= минус 1$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: $а правая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505730

$а правая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 63

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505730	$а правая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$