Ре­ше­ние. а)  Закон можно уга­дать, за­ме­тив, на­при­мер, что пока число од­но­знач­ное, оно удва­и­ва­ет­ся, а потом  — нет. А то, что 10 пе­ре­хо­дит в 2, на­во­дит на мысль, что удва­и­ва­ет­ся не само число, а сумма его цифр. Итак, ис­ко­мый закон об­на­ру­жен: «Удво­ен­ная сумма цифр».

б)  Легко за­ме­тить, что од­но­знач­ных чисел, боль­ших нуля, с тре­бу­е­мым свой­ством нет. По­про­бу­ем найти ре­ше­ние среди дву­знач­ных чисел. Если пер­вая цифра дву­знач­но­го числа равна a, а вто­рая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b  =  2(a + b). От­сю­да 8a  =  b, то есть a  =  1, b  =  8.

Можно по­ка­зать, что дру­гих ре­ше­ний нет: самое ма­лень­кое трёхзнач­ное число  — 100, а самая боль­шая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9  =  27, по­это­му удво­ен­ная сумма цифр все­гда мень­ше са­мо­го числа. Так же с че­ты­рех­знач­ны­ми, пя­ти­знач­ны­ми и так далее.

в)  За­ме­тим, что если число не мень­ше, чем трёхзнач­ное, то его сумма цифр мень­ше са­мо­го числа. Зна­чит, число будет умень­шать­ся, пока не ста­нет дву­знач­ным или од­но­знач­ным. Остаётся един­ствен­ная опас­ность: по­пасть в «не­по­движ­ную точку»  — 18. Но это в нашем слу­чае не­воз­мож­но, по­сколь­ку ис­ход­ное число не де­ли­лось на 9, а при дан­ном пре­об­ра­зо­ва­нии числа, не крат­ные 9, не могут пе­рей­ти в числа, крат­ные 9.

Ответ: а)  удво­ен­ная сумма цифр; б)  18.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та в) Кон­стан­ти­на Жит­ни­ко­ва.

В пунк­те а) был най­ден закон пре­об­ра­зо­ва­ния чисел: «Сле­ду­ю­щее число яв­ля­ет­ся удво­ен­ной сум­мой цифр преды­ду­ще­го». Сле­до­ва­тель­но, число 21991 по этому за­ко­ну будет пре­об­ра­зо­ва­но в число 2 · (2 + 1 + 9 + 9 + 1)  =  44, ко­то­рое, в свою оче­редь, будет пре­об­ра­зо­ва­но в число 2 · (4 + 4)  =  16. Число  16 будет пре­об­ра­зо­ва­но в 2 · (1 + 6)  =  14, ко­то­рое будет пре­об­ра­зо­ва­но в 2 · (1 + 4)  =  10, и на­ко­нец по­лу­чим 2 · (1 + 0)  =  2.