PDF-версии: 
Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать что:
а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;
б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);
в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.
Решение. Сначала докажем вспомогательное утверждение:
Пусть 
— сумма цифр натурального числа x, 
— количество его цифр, бóльших 4. Тогда 
Доказательство.
Представим, что мы складываем число x само с собой столбиком. Перенос единицы в очередной, 
-ый, разряд суммы происходит в том и только том случае, когда в k-ом разряде числа x стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то есть число переносов равно 
При каждом переносе вместо десятки, которая входит в сумму 
возникает единица, которая входит в 
то есть 
по сравнению с 
уменьшается на 9. Что и требовалось доказать.
а) будем использовать вспомогательное утверждение: 
б) Заметим, что цифра i-го разряда числа x больше 4 в том и только в том случае, когда цифра 
-го разряда числа 
нечётна. Поэтому, равно количеству нечётных цифр в числе 
Следовательно, для чисел M и K, составленных из одних и тех же цифр, 
Теперь, используя вспомогательное утверждение, получаем:
в) Числа 
и 
отличаются только перестановкой цифр, поэтому, используя пункт б), получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |