Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния. Пусть: MN  — пря­мая, про­хо­дя­щая через точку O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в и точку O₁  — точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в

В по тео­ре­ме си­ну­сов имеем: Далее:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Пусть тогда: x = 2 или (не под­хо­дит). Итак, AB = 2. По­сколь­ку AB в 2 раза мень­ше, чем АС, то в со­от­вет­ствии с тео­ре­мой си­ну­сов

Это зна­чит, что рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти, впи­сан­ной в до каж­дой сто­ро­ны со­став­ля­ет

Как из­вест­но, в про­из­воль­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­ны, пе­ре­се­ка­ясь в одной точке, де­лят­ся в от­но­ше­нии 2:1 и раз­би­ва­ют тре­уголь­ник на 6 рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но,

Най­дем вы­со­ту про­ве­ден­ную к сто­ро­не BC:

Таким об­ра­зом, точки O и O₁ на­хо­дят­ся на оди­на­ко­вом рас­сто­я­нии от пря­мой BC. По­сколь­ку   — раз­но­сто­рон­ний, то точки O и O сов­пасть не могут. А это зна­чит, что MN || BC. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия От­сю­да:

По усло­вию за­да­чи Сле­до­ва­тель­но, Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра будем иметь:

Впо тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Итак, все сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка-се­че­ния най­де­ны. По­ка­жем, что   — ту­по­уголь­ный. Для этого до­ста­точ­но до­ка­зать, что

Дей­стви­тель­но,

Те­перь наша за­да­ча найти вы­со­ту про­ве­ден­ную к про­дол­же­нию сто­ро­ны MN. Пусть E  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, SE = h, NE = x.

Два­жды при­ме­няя тео­ре­му Пи­фа­го­ра, най­дем:

От­сю­да:

Тогда

За­ме­ча­ния:

При­ведём дру­гой под­ход на­хож­де­ния ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды:

В по тео­ре­ме си­ну­сов имеем:

Далее:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Пусть AB = x, тогда:

x = 2 или (не под­хо­дит). Итак, AB = 2. По­сколь­ку AB в 2 раза мень­ше, чем АС, то в со­от­вет­ствии с тео­ре­мой си­ну­сов