PDF-версии: 
Найти все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения
есть два различных корня с равными абсолютными величинами.
Решение. Пусть у заданного уравнения имеются корни m и −m, причем 
Тогда будем иметь равенства:
Последнее равенство мы вправе переписать так:
Вычитая равенство (***) из равенства (*), получим:
Рассмотрим равенство 
Покажем, что в последнем равенстве 
Действительно, если 
то 
тогда как 
Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства 
на 
Получим: 
Это равенство имеет место при 
Рассмотрим левую часть последнего равенства как функцию f(m), правую часть — как функцию g(m).
На 
есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= 
возможно лишь при единственном значении m, т. е. при Однако такое значение m условию задачи не удовлетворяет. Отсюда вывод: в контексте предложенной задачи 
Но тогда непременно должно выполняться равенство 
Коли это так, то равенство (***) примет вид: 
что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: 
и 
Заметим, что среди корней исходного уравнения есть такая пара значений m, например, 
и 
при которых условие 
выполняется как при 
так и при 
Теперь нам осталось найти такие значения параметров a и b, которые удовлетворяют системе уравнений 
Так как
то 
(последнее не имеет смысла).
Полученным значениям а будут соответствовать значения 
и 
в соответствии с равенством 
Таким образом, мы получили упорядоченные пары: (-2; -1) и (2; 1). Однако, они нуждаются в проверке их пригодности, так как в процессе решения был переход от равенства 
к равенству 
(не обязательно равносильный). При подстановке пары (2; 1) в систему 
получим верные равенства: 
Такие же получим результаты, если проверим пару (-2; -1).
Ответ: (-2; -1), (2;1).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |