Ре­ше­ние. а)  Так как центр окруж­но­сти лежит в точке пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров, то точка H яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной сто­ро­ны BC. Обо­зна­чим BH = HC = a, AK = KL = LB = x, AM = MN = NC = y. Из свойств ка­са­тель­ной и се­ку­щей по­лу­ча­ем:

По­лу­чи­ли, что AB  =  3x  =  AC, то есть тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. За­од­но по­лу­ча­ет­ся, что точки A, O и H лежат на одной пря­мой.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из пунк­та а) из­вест­но, что от­ку­да Вы­ра­зим раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

- Через ос­но­ва­ние и вы­со­ту:

Через все сто­ро­ны и ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти:

По фор­му­ле Ге­ро­на:

где

то есть:

При­рав­ни­вая вто­рой и тре­тий ре­зуль­тат (и под­став­ляя ), по­лу­чим:

Те­перь при­рав­ня­ем пер­вое и вто­рое вы­ра­же­ния для пло­ща­ди, от­ку­да по­лу­чим:

Ответ: