PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра PA, точка K — середина ребра PB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK, если PC = 6, AB = 4.
Решение. Координатный метод решения.
Пусть O — центр основания пирамиды. Тогда PO — ее высота. 
Поместим пирамиду в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Укажем координаты необходимых точек: A (2; -2; 0), M (1; -1; \sqrt{7}), C (-1; -1; \sqrt{7}), C (-2; 2; 0).
Уравнение плоскости KMC в общем виде: ax + by + cz + d = 0. Найдем a, b, c.
Вычитая из второго уравнения первое, получим: 
Из третьего уравнения: 
Подставляя найденные значения a и b в первое уравнение, найдем c. 
Далее:
(уравнение плоскости CMK).
Ответ: 
Элементарно-геометрический метод решения.
Соединим отрезками точки: M с точками K и С.
Вычислим длину отрезка CK, который является медианой треугольника BPC.
Аналогично вычислим МС — медиану треугольника РАС.
Рассмотрим пирамиду PABC (рис. 2), зеркально симметричную пирамиде PADС относительно плоскости APC. При этом объем пирамиды PABC будет равна половине объема пирамиды PABCD. То есть 
Пирамиды PMKС и PABC имеют общий трехгранный угол. Следовательно, в соответствии с теоремой об отношении объемов треугольных пирамид будем иметь:
Отсюда 
Соединим отрезком точки А и K и рассмотрим треугольные пирамиды CPMK и CAMK с вершиной С и с общей высотой, проведенной из точки С.
Поскольку треугольники PMK AMK равновелики (имеют равные основания PM и AM, общую высоту, проведенные к ним) , то 
Это — с одной стороны. А с другой же стороны, 
где 
— искомое расстояние.
Найдем площадь треугольника CMK по уже известным его трем сторонам — по формуле Герона.
Итак, 
Ответ:
Замечания.
1. При вычислении CK и МС использована формула медианы треугольника 
К этой формуле можно прийти методом удвоения медианы. Если она забыта, ее можно восстановить легко и просто. И вот каким образом.
Пусть задан треугольник, стороны которого равны a, b, c. Предположим, что требуется найти длину медианы, проведенной к стороне с. Обозначим искомую длину 
Достроим треугольник до параллелограмма, удвоив медиану. Очевидно, одна из диагоналей параллелограмма будет с, другая 
а его сторонами будут стороны треугольника длиной a и b. Как известно, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то будет выполнено равенство:
Отсюда: 
2. Строить сечение пирамиды, проходящее через точки С, M, К никакой надобности нет. Тем более доказывать, что оно содержит вершину D. В условии задачи ничего не говорится об этом сечении. Поэтому я его обошел. В данном варианте решения вычисление площади треугольника CMK по формуле Герона, когда одна из его сторон число иррациональное, никаких неудобств не доставляет.
3. Теорема об отношении объемов треугольных пирамид является логическим следствием из более общей теоремы: "Объемы двух треугольных пирамид, имеющих по равному трехгранному углу, относятся друг к другу, как произведения длин трех ребер равных трехгранных углов".
4. Рис. 1 заимствован из моего же решения данной задачи координатным методом.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |