Ре­ше­ние. Сна­ча­ла до­ка­жем вспо­мо­га­тель­ное утвер­жде­ние: сумма двух не­со­кра­ти­мых дро­бей с раз­лич­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми не может рав­нять­ся нулю. Дей­стви­тель­но, пусть   — эти дроби, и для опре­де­лен­но­сти, Пусть Тогда Тогда d долж­но де­лить­ся на b, т. к. a и b вза­им­но про­сты. Но Про­ти­во­ре­чие.

а)  Долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство: Но по до­ка­зан­но­му утвер­жде­нию это ра­вен­ство не­воз­мож­но, т. к. наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель пер­вой скоб­ки будет вза­им­но прост с чис­лом 11.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что дробь сле­ду­ет вы­черк­нуть. Ана­ло­гич­но, надо вы­черк­нуть дроби Далее, пусть не вы­черк­ну­та хотя бы одна из дро­бей и Тогда их вклад в общую сумму будет равен или Наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель осталь­ных дро­бей не де­лит­ся на 5, по­это­му по вспо­мо­га­тель­но­му утвер­жде­нию опять по­лу­чит­ся про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, дроби и надо вы­черк­нуть. Для осталь­ных чисел нуж­ная рас­ста­нов­ка плю­сов и ми­ну­сов на­хо­дит­ся: