PDF-версии: 
Две окружности с центрами O и Q пересекаются друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причем площади треугольников OAE и QAE равны соответственно 18 и 42.
а) Докажите, что треугольники AQO и BDC подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.
Решение. а) Проведем дополнительно отрезки OB и BQ: треугольники OAQ и OBQ равны по 3 сторонам (OA = OB = r, QA = QB = R, OQ — общая). Отсюда следует равенство углов:
Вписанный угол BDA опирается на ту же дугу BA, что и центральный угол AQB. Тогда 
Далее, в меньшей окружности с центром O рассмотрим центральный угол 
изображенный синим на рисунке, который опирается на бОльшую дугу AB. На эту же дугу опирается вписанный угол 
который в 2 раза меньше центрального. Тогда:
Таким образом, получили, что треугольники AOQ и BCD подобны по 2-м углам. Что и требовалось доказать.
б) Выпишем площади треугольников AOE и AEQ:
Тогда можно обозначить AO = 3x, AQ = 7x.
Из основного свойства биссектрисы в треугольнике получаем: AO : OE = AQ : EQ, откуда можем записать, что OE = 3y, EQ = 7y.
Далее, треугольники AOE и DQE подобны по 2 углам
так как треугольник AQD равнобедренный; 
как вертикальные
Отсюда следует, что
Чтобы найти площадь треугольника ODE, заметим, что высота его совпадает с высотой треугольника QED (на рисунке не изображена), и отличие только в длинах оснований, тогда
Окончательно получаем:
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |