Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но, что на­чи­ная со вто­рой строч­ки, все числа в таб­ли­це не боль­ше 1000. Кроме того, каж­дое число не боль­ше на­пи­сан­но­го под ним. По­это­му сумма чисел в тре­тьей строч­ке не мень­ше, чем во вто­рой и т. д., и каж­дая из этих сумм не боль­ше мил­ли­о­на. Сле­до­ва­тель­но, по­сколь­ку все время суммы воз­рас­тать не могут, в каких-⁠то со­сед­них строч­ках суммы сов­па­дут, и тогда сов­па­дут и сами строч­ки.

б)  До­ка­жем, что если в m-⁠й строч­ке при число от­лич­но от на­пи­сан­но­го над ним, то оно не мень­ше, чем Дей­стви­тель­но, для это оче­вид­но, по­сколь­ку все числа вто­рой стро­ки на­ту­раль­ные. Пусть это уже про­ве­ре­но для всех строк с но­ме­ра­ми, мень­ши­ми Пусть в -⁠й строч­ке на­пи­са­но число а под ним на­пи­са­но число b, боль­шее Тогда в -⁠й строч­ке на­пи­са­но b чисел, рав­ных Ясно, что в -⁠й строч­ке будет на­пи­са­но не­сколь­ко групп оди­на­ко­вых чисел, по в каж­дой груп­пе, при­чем числа из раз­ных групп раз­лич­ны. От­сю­да вы­те­ка­ет, что b де­лит­ся на то есть Кроме того, по край­ней мере одно из чисел в этих груп­пах от­ли­ча­ет­ся от а зна­чит, по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции Итак, Наше утвер­жде­ние до­ка­за­но по ин­дук­ции для всех Если пред­по­ло­жить, что 11-⁠я строч­ка от­лич­на от 12-⁠й, то какое-⁠то число в 12-⁠й строч­ке будет боль­ше, чем что не­воз­мож­но.

в)  При­ве­дем такой при­мер:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В пер­вой строч­ке 0 и 1 встре­ча­ют­ся по од­но­му разу, 2  — два раза, 4  — че­ты­ре раза, 8  — во­семь раз, …, 256  — 256 раз, 488  — встре­ча­ет­ся 488 раз, в 11 строч­ке встре­ча­ет­ся 512 раз число 512 и 488 раз число 488.