PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. Рассмотрим заданное уравнение при 
Ясно, что при 
оно примет вид: 
откуда 
Таким образом, при заданное уравнение имеет единственное решение.
При дальнейших исследованиях из числа искомых значений параметра а мы будем исключать значение
Произведем замену переменной. Пусть 
Тогда 
Подставив полученное значение x в заданное уравнение, получим новое уравнение:
Поскольку для монотонной функции 
при 
каждому значению t соответствует единственное значение x, то задачу можно переформулировать так:
найдите все значения параметра а, 
при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
1. Если 
то 
В таком случае уравнение (*) будет иметь вид: 
или 
(1)
Последнее уравнение будет иметь единственное решение при условии, что 
т. е. 
При значениях 
для любого а, отличного от 1 . А это значит, что при любом значении 
уравнение (1) имеет два различных действительных корня. Обнаружить эти корни легко по теореме Виета. Ими будут: 1 и 
Корень, равный
, заведомо удовлетворяет условию 
Найдем значения а, при которых второй корень, равный 
также будет удовлетворять условию
Эти значения а, очевидно, также обязаны удовлетворять неравенству 
т. е. неравенству 
поскольку свободный член уравнения (1) при тех же значениях a непременно должен быть неотрицательным.
Таким образом, при 
уравнение (1) будет иметь два различных действительных корня.
Так как при 
корень 
отрицательный, то уравнение (1) при будет иметь единственное решение 
удовлетворяющее неравенству
Поскольку при 
уравнение (1) уже имеет два различных действительных корня, то дальнейшее исследование уравнения (*) для значений 
становится излишним.
Если 
то 
Тогда уравнение (*) будет иметь вид: 
или 
(2)
Найдем дискриминант уравнения (2).
Заметим, что прямая 
является осью симметрии квадратичной функции 
Следовательно, при 
функция 
будет возрастающей. Поскольку 
то дискриминант уравнения (2) при будет положительным. А это значит, что при уравнение (2) имеет два различных действительных корня.
Так как при свободный член уравнения (2) становится отрицательным, то лишь один из корней уравнения (2) будет удовлетворять условию 
Теперь докажем, что при 
уравнение (2) решений, удовлетворяющих условию иметь не будет. Действительно, 
У последнего уравнения действительных корней нет.
Итак, заданное уравнение имеет единственное решение при или 
Замечание.
В процессе решения задачи удобно воспользоваться таблицей, которая поможет контролировать полноту исследований.
При уравнение (*) решений не имеет.
Ответ: 0;1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |