Ре­ше­ние. Решим сразу пункт б). По­ка­жем, что ответ по­ло­жи­тель­ный. Сла­га­е­мых всего сто, по­это­му раз­лич­ных рас­ста­но­вок плю­сов и ми­ну­сов будет Обо­зна­чим один из кор­ней за x, и будем рас­смат­ри­вать ис­ко­мое вы­ра­же­ние как мно­го­член сте­пе­ни Де­ли­те­ли P разобьём на две груп­пы: в одну вклю­ча­ем те, в ко­то­рых при x стоит знак «+», в дру­гую  — те, в ко­то­рых при x стоит «−». Про­из­ве­де­ние од­но­чле­нов пер­вой груп­пы обо­зна­чим через про­из­ве­де­ние од­но­чле­нов вто­рой груп­пы через каж­дый сте­пе­ни (в каж­дой груп­пе встре­ча­ют­ся все­воз­мож­ные ком­би­на­ции зна­ков всех сла­га­е­мых, кроме x) в силу опре­де­ле­ния этих мно­го­чле­нов.

Кроме того, по­сколь­ку при за­ме­не всех зна­ков при сла­га­е­мых в груп­пе мно­жи­те­лей, со­став­ля­ю­щих вы­ра­же­ние не из­ме­нит­ся, так как ско­бок чётное число, в то же время, пре­вра­тит­ся в так как в скоб­ках стоит те­перь x со зна­ком «–». От­сю­да по­лу­ча­ем, что т. е.   — чётная функ­ция.

Если мно­го­член есть чётная функ­ция, то он со­дер­жит толь­ко чётные сте­пе­ни x и его можно рас­смат­ри­вать как мно­го­член от До­ка­жем, что есть чётная функ­ция и от осталь­ных ра­ди­ка­лов. Обо­зна­чим ра­ди­кал, от­лич­ный от x, через y и будем те­перь счи­тать функ­ци­ей от Раз­ло­жим на два со­мно­жи­те­ля и в пер­вый из ко­то­рых вхо­дят де­ли­те­ли P с ко­эф­фи­ци­ен­том 1 при y, а во вто­рой  — с ко­эф­фи­ци­ен­том –1. Оче­вид­но, что Тогда Итак, после рас­кры­тия ско­бок в вы­ра­же­нии все ра­ди­ка­лы будут встре­чать­ся в чётных сте­пе­нях, так что   — целое число.   — это тоже самое число. Итак, всё про­из­ве­де­ние есть пол­ный квад­рат.