PDF-версии: 
В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем 
Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.
а) Найдите величину угла ВАС;
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.
Решение. а) Пусть
тогда 
(рис. 1).
По теореме синусов будем иметь:
В 
В 
Так как 
то 
Значит,
Ясно, что 
б) Пусть 
— центр окружности, описанной около 
— центр окружности, описанной около 
(Рис. 2).
Очевидно, что точки и лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BM. Пусть он пересекает BM в точке D. Тогда 
Наша задача — найти длину отрезка 
Найдем 
и 
которые являются радиусами названных окружностей.
Нам понадобятся значения синуса и косинуса угла BAM.
По следствию из теоремы синусов будем иметь: 
В 
где 
по теореме Пифагорa получим: 
В 
аналогично 
Ответ: а) 
б) 17.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) 17. б) 17.