PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 
сторона основания равна 1, SH — высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно ребрам SA и BC.
Решение. Построение сечения.
Строим последовательно:
1. Отрезок KL, 
2. Отрезок 
3. Отрезок 
4. Отрезок MN.
Докажем, что LMNK — искомое сечение.
Во-первых, LM || SA, KN || SA, следовательно, LM || KN. Поскольку через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, то точки L, M, N, K принадлежат одной плоскости.
Во-вторых, SA || LM по построению, значит, SA || (LM); аналогично KL || BC (по построению), следовательно, BC || (LM).
Теперь докажем, что LMNK — прямоугольник.
Проведем биссектрису угла BAC. Очевидно, она пройдет через точку H, разделит отрезок BC на два равных отрезка (обозначим точку пересечения P), будет перпендикулярной к отрезку BC.
Соединим точки S и P отрезком.
Далее мы вправе утверждать, что при зеркальной симметрии относительно плоскости SA заданная пирамида перейдет сама на себя. Причем, вершины пирамиды A и S, точка P перейдут сами в себя, вершина В перейдет в вершину С и, наоборот, точка С перейдет в точку В. Так как KL || BC, то точки К и L перейдут друг в друга (по теореме Фалеса будет справедливым равенство АК : КС = АL : LB), кроме того, АС = АВ по условию. Аналогично и точки M и N перейдут друг в друга, поскольку при той же симметрии 
и 
перейдут друг на друга.
Тогда справедливы равенства: KN=LM, KM=LN.
Из равенства отрезков KN и LM, а также их параллельности (показано выше) следует, что четырехугольник LMNK — параллелограмм, А так как у него равны диагонали, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Осталось вычислить площадь прямоугольника LMNK.
Так как 
— равносторонний, то 
В 
где 
Так как KL || BC, то 
Отсюда: 
Из параллельности AS и ML следует, что 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |