Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Заметим, что левая часть заданного уравнения имеет смысл только при 
Пусть 
Тогда задача будет переформулирована так: найти все значения а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку 
Заметим также, что уравнение (1) имеет вид: 
Коли это так, то заменим его более простым уравнением
доказав равносильность уравнений (1) и (2) на 
и 
где — множество разрешенных значений t в уравнении (1), 
— множество разрешенных значений t в уравнении (2). 
.
Если уравнение (2) имеет решение 
то будет выполнено равенство 
Тогда уравнение (1) обратится в равенство Следовательно, любое решение уравнения (2) также является решением уравнения (1).
Для полноты наших суждений докажем еще одно утверждение: если некоторое, число 
отличное от таково, что 
и не является решением уравнения (2), то оно также не будет являться решением уравнения (1).
Такое возможно лишь в двух случаях: либо при
либо при 
Пусть 
Тогда 
аналогично, если 
то 
Значит, число 
при 
корнем уравнения (1) не является.
Из сказанного следует, что множество корней уравнений (1) и (2) полностью совпадают, т. е. уравнения (1) и (2) являются равносильными.
Следовательно, мы вправе еще раз переформулировать задачу: найдите все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение на промежутке
Рассмотрим смешанную систему 
Ясно, что параметр а, будучи непрерывной функцией от t, достигает наименьшего значения при 
А наибольшее его значение равно нулю. Параметр принимает все значения из промежутка 
где 
Замечания:
1. Здесь доказательство того, что уравнения (1) и (2) равносильны, является обязательным, так как уравнения 
и 
вообще говоря, не обязаны быть равносильными.
2. Покажем сказанное в п.1 замечаний на конкретном примере. Предположим, что произведена аналогичная замена уравнения 
на уравнение 
Числа 
и 
являются корнями уравнения 
тогда как эти числа корнями уравнения 
не являются. А этого достаточно для того чтоб считать названные два уравнения неравносильными.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |