PDF-версии: 
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка L лежит на основании BC.
а) Докажите, что прямая MK проходит через середину стороны AB.
б) Найти отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.
Решение.
а) Обозначим буквой E точку пересечения отрезков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как накрест лежащие углы; аналогично ∠CLD = ∠ADL, как накрест лежащие. Отсюда получаем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть треугольники ABL и CLD равнобедренные (AB = BL, CL = CD). Тогда биссектрисы этих треугольников BM и CK являются также высотами и медианами. Значит, точки M и K являются серединами сторон AL и DL соответственно. Отсюда следует, что отрезок MK является средней линией треугольника ALD. Значит, MK || AD.
Теперь если рассмотреть треугольник ABL, получаем, что отрезок EM параллелен стороне BL и исходит из середины стороны AL. Отсюда следует, что EM является средней линией этого треугольника, а значит точка E — середина стороны AB. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим 4-угольник MLKN. Из предыдущего пункта получили, что ∠M = 90°, ∠K = 90°, откуда следует, что
То есть у данного 4-угольника суммы противоположных углов дают 
откуда следует, что вокруг него можно описать окружность. Соединим точки N и L (пересечение с MK в точке F) — получим 2 прямоугольных треугольника NML и NKL. Тогда центр описанной окружности лежит на середине общей гипотенузы NL.
Теперь заметим, что треугольники MFL и NFK подобны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вертикальные; ∠MLF = ∠NKF, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MN). Тогда 
Аналогично треугольники NMF и KFL подобны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вертикальные; ∠MNF = ∠FKL, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ML). Тогда 
Поделим соотношения друг на друга:
Из подобия треугольников NLC и NFK (по 3-м углам) получим, что 
Аналогично из подобия треугольников NLB и NFM получим, что 
откуда следует:
Окончательно получаем, что
Ответ: 5 : 14.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |