PDF-версии: 
В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка K, на ребре AC — точка L, на ребре BD — точка N, на ребре СD — точка M. Точки E и G есть середины ребер AD и BC соответственно. Прямые EG, KM и LN пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN, если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скрещивающимися прямыми AD и BC равен 45°.
Решение.
Пусть 
Тогда 
Поскольку EM и KG лежат в одной плоскости, они пересекаются на прямой AC (пусть в точке Q). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KGQ имеем 
поэтому 
По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой EMQ имеем 
поэтому 
Тогда имеем 
Вектор из D в точку пересечения EG и MK представляется в виде 
и в виде
Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим 
поэтому этот вектор 
раскладывается как 
Теперь пусть 
Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим 
Итак, 
Значит, 
поэтому KLMN — параллелограмм и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
-->Пусть Тогда
Поскольку EM и KG лежат в одной плоскости, они пересекаются на прямой AC (пусть в точке Q). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KGQ имеем поэтому
По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой EMQ имеем поэтому Тогда имеем
Вектор из D в точку пересечения EG и MK представляется в виде и в виде
Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим поэтому этот вектор раскладывается как
Теперь пусть
Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим
Итак,
Значит, поэтому KLMN — параллелограмм и
-->Пусть Тогда
Поскольку EM и KG лежат в одной плоскости, они пересекаются на прямой AC (пусть в точке Q). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KGQ имеем поэтому
По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой EMQ имеем поэтому Тогда имеем
Вектор из D в точку пересечения EG и MK представляется в виде и в виде
Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим поэтому этот вектор раскладывается как
Теперь пусть
Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим
Итак,
Значит, поэтому KLMN — параллелограмм и