РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505610 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 44

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

a)  Решите уравнение $косинус 7x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 7x= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  

$косинус 7x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 7x= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 7x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус 7x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус 7x минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус 7x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус 7x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус левая круглая скобка 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$ $равносильно синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус 7x минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус 7x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус 7x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус левая круглая скобка 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно совокупность выражений 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 42 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 42 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z , x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z . конец совокупности$ $равносильно совокупность выражений 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 42 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 42 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z , x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z . конец совокупности$ $равносильно совокупность выражений 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , 7x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 42 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 42 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z , x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z . конец совокупности$

б)  Выборка корней. Решим двойные неравенства относительно целых $n:$

$дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n меньше или равно дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби n меньше или равно дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: 168, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 25, знаменатель: 420 конец дроби плюс дробь: числитель: 120n, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 360, знаменатель: 420 конец дроби равносильно$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n меньше или равно дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби n меньше или равно дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 168, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 25, знаменатель: 420 конец дроби плюс дробь: числитель: 120n, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 360, знаменатель: 420 конец дроби равносильно$

$равносильно 168 меньше или равно 25 плюс 120n меньше или равно 360 равносильно 143 меньше или равно 120n меньше или равно 335 равносильно 1 плюс дробь: числитель: 23, знаменатель: 120 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 2 плюс дробь: числитель: 95, знаменатель: 120 конец дроби равносильно n=2.$ $равносильно 168 меньше или равно 25 плюс 120n меньше или равно 360 равносильно 143 меньше или равно 120n меньше или равно 335 равносильно$
$равносильно 1 плюс дробь: числитель: 23, знаменатель: 120 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 2 плюс дробь: числитель: 95, знаменатель: 120 конец дроби равносильно n=2.$

При $n=2:$ $x_1= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи плюс 48 Пи , знаменатель: 84 конец дроби = дробь: числитель: 53 Пи , знаменатель: 84 конец дроби .$

$дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n меньше или равно дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби n меньше или равно дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: 168, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 55, знаменатель: 420 конец дроби плюс дробь: числитель: 120n, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 360, знаменатель: 420 конец дроби равносильно$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n меньше или равно дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби n меньше или равно дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 168, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 55, знаменатель: 420 конец дроби плюс дробь: числитель: 120n, знаменатель: 420 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 360, знаменатель: 420 конец дроби равносильно$

$равносильно 168 меньше или равно 55 плюс 120n меньше или равно 360 равносильно 113 меньше или равно 120n меньше или равно 305 равносильно дробь: числитель: 113, знаменатель: 120 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 2 плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 24 конец дроби равносильно совокупность выражений n=1 n=2 конец совокупности ..$ $равносильно 168 меньше или равно 55 плюс 120n меньше или равно 360 равносильно 113 меньше или равно 120n меньше или равно 305 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 113, знаменатель: 120 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 2 плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 24 конец дроби равносильно совокупность выражений n=1 n=2 конец совокупности ..$

При $n=1$ $x_2= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 11 Пи плюс 24 Пи , знаменатель: 84 конец дроби = дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 84 конец дроби ;$ при $n=2$ $x_3= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 11 Пи плюс 48 Пи , знаменатель: 84 конец дроби = дробь: числитель: 59 Пи , знаменатель: 84 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 84 конец дроби ; дробь: числитель: 53 Пи , знаменатель: 84 конец дроби ; дробь: числитель: 59 Пи , знаменатель: 84 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505610

а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 84 конец дроби ; дробь: числитель: 53 Пи , знаменатель: 84 конец дроби ; дробь: числитель: 59 Пи , знаменатель: 84 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 44

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505610	а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 84 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 7 конец дроби ,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 84 конец дроби ; дробь: числитель: 53 Пи , знаменатель: 84 конец дроби ; дробь: числитель: 59 Пи , знаменатель: 84 конец дроби .$