РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505604 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 43

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения вида f(x)=f(y), Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

a)   Решите уравнение $косинус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 4x плюс 3 Пи правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$

Решение. а)   Воспользуемся четностью функции косинус, периодичностью синуса и косинуса, формулами приведения, формулой преобразования разности синусов двух аргументов в произведение:

$косинус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 4x плюс 3 Пи правая круглая скобка равносильно синус 4x минус синус 2x = 0 равносильно 2 косинус 3x умножить на синус x = 0 равносильно$ $косинус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 4x плюс 3 Пи правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус 4x минус синус 2x = 0 равносильно 2 косинус 3x умножить на синус x = 0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка косинус 3x = 0, новая строка синус x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x = Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z , новая строка x = Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Из серии корней $Пи n,n принадлежит Z$ получим единственный корень $x_1 = 0.$ Из серии корней $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 3 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно 3 равносильно минус 4 меньше или равно 2n меньше или равно 2 равносильно минус 2 меньше или равно n меньше или равно 1.$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 3 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно минус 4 меньше или равно 2n меньше или равно 2 равносильно минус 2 меньше или равно n меньше или равно 1.$

$x_2 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;x_3 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_4 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на 0 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_5 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ $x_2 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;x_3 =$
$= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_4 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на 0 =$
$= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_5 = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: a) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n; Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0.$

Примечание.

Как это часто бывает в тригонометрических уравнениях, возможна другая верная форма записи ответа. Например, такая: $дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505604

a) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n; Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 43

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505604	a) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n; Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0.$