PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. Заданное уравнение приведем к виду 
Рассмотрим функцию 
Найдем область ее определения.
Разложим на множители многочлен 
Попытаемся найти хотя бы один его целый корень, если он имеется. Целыми корнями 
могут быть только числа: 
Заметим, что числа 
таковыми не являются. При 
Значит, число 7 является корнем многочлена 
Делением "уголком" на 
получим 
Вычислим корни квадратного трехчлена
Заметим, что:
поскольку 
(неравенство верно).
так как 
(неравенство очевидное).
Итак, 
Найдем нули функции 
Для этого решим систему:
Поскольку 
это показано выше; 
то и разность
(
Делением «уголком» получим, что 
Далее:
Таким образом, число 
делит область определения функции на два промежутка знакопостоянства функции 
и 
Найдем эти знаки.
Заметим , что 
Действительно, 
Итак, на 
Очевидно, что 
На 
Если 
то уравнение будет иметь два корня: 
и 
То есть решение не единственное. Значит, значения 
и 
— не подходят.
Если 
то уравнение 
вообще не будет иметь корней, так как правая часть преобразованного уравнения обязана быть неотрицательной.
Следовательно, искомые значения параметра a будем искать только при выполнении условия 
т. е. при 
Теперь наша задача заключается в нахождении области значений функции 
на 
Имеем: 
Значит, 
Однако, в силу того, что требуется найти значения параметра a, при которых заданное уравнение имеет единственный корень, то функция на отрезке 
каждое свое значение должна принимать лишь один раз, т. е. функция на рассматриваемом отрезке обязана быть либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Докажем, что она является монотонно убывающей.
Рассмотрим функцию 
на отрезке [0;1]
Найдем ее производную. 
Знаменатель на рассматриваемом интервале в нуль не обращается (это было показано выше). Следовательно, критические точки, если они есть, могут быть только в тех точках, в которых обращается в нуль числитель производной функции. Найдем эти значения.
Докажем, что эти корни не принадлежат промежутку (0;1).
Действительно, 
Итак, на рассматриваемом отрезке функция критических точек не имеет.
следовательно, функция 
на промежутке [0 ;1] монотонно возрастает.
Рассмотрим функцию 
на том же отрезке [0;1].
Эта функция имеет единственную критическую точку 
По характеру изменения значений функции её также отнесем к числу монотонно возрастающих, поскольку 
Заметим главное: скорость возрастания функции 
очевидно, будет больше, нежели скорость возрастания функции 
поскольку значения функции и 
уже в точке станут равными. И отсюда следует, что функция
монотонно убывает на [0;1]. Говоря по-другому, функция 
будучи разностью двух функций: (уменьшаемая) и (вычитаемая). Обе функции монотонно возрастающие. При этом при бесконечно малом приращении значения аргумента на [0;1], начиная от точки 0, уменьшаемая функция получит меньшее приращение, чем вычитаемая функция при таком же приращении аргумента. В силу этого разность 
на отрезке на [0;1] будет убывать от точки к точке (в противном случае равенство значений названных функций не будет достигнуто при 
Коли монотонно убывает на [0;1], то она будет монотонно убывать и на 
На заключительном этапе исследования задачи найдем решение неравенства 
относительно а.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |