PDF-версии: 
Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что 
Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.
Решение. Для начала построим сечение PQR: проведем прямую QP до пересечения с прямой AC в точке E. В плоскости грани ADC соединим точки E и R: прямая ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.
Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.
Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим длину стороны QP по теореме косинусов:
Теперь найдем угол BPQ:
Тогда из основного тригонометрического тождества:
Заметим, что 
как вертикальные, тогда можем найти угол AEP:
Вычислим синус угла β:
По теореме синусов для треугольника APE:
Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме косинусов имеем:
Из этого же треугольника найдем угол CER:
Тогда из основного тригонометрического тождества:
Найдем синус угла ASE:
По теореме синусов для треугольника ASE:
Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: 
Выразим векторы 
и 
через базисные:
откуда
Заметим, что 
и 
Найдем длины этих векторов:
Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:
Окончательно получаем:
откуда 
Ответ: 
Примечание Дмитрия Гущина.
Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда
В нашем случае:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |