РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505598 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы половинного аргумента, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $2 косинус 2x плюс косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 10 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  

$2 косинус 2x плюс косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 10 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x равносильно$

$равносильно 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 20 косинус левая круглая скобка 2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 7 минус косинус x=0 равносильно$

$равносильно 4 косинус в квадрате x минус 4 синус в квадрате x плюс 1 плюс косинус x минус 20 синус x минус косинус x плюс 7=0 равносильно$

$равносильно 4 минус 4 синус в квадрате x минус 4 синус в квадрате x плюс 1 минус 20 синус x плюс 7=0 равносильно 8 синус в квадрате x плюс 20 синус x минус 12=0 равносильно$ $равносильно 4 минус 4 синус в квадрате x минус 4 синус в квадрате x плюс 1 минус 20 синус x плюс 7=0 равносильно$
$равносильно 8 синус в квадрате x плюс 20 синус x минус 12=0 равносильно$

$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 3=0 равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 25 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус 3. конец совокупности .$ $равносильно 2 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 3=0 равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 25 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус 3. конец совокупности .$ $равносильно 2 синус в квадрате x плюс 5 синус x минус 3=0 равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm корень из: начало аргумента: 25 плюс 24 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: минус 5\pm 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус 3. конец совокупности .$

Уравнение $синус x= минус 3$ корней не имеет.

$синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Выборка корней. Из серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :$

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно 4 Пи равносильно 15 меньше или равно 1 плюс 12n меньше или равно 24 равносильно 14 меньше или равно 12n меньше или равно 23 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби равносильно 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 1 плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби .$

Последнее неравенство целых решений не имеет. Значит, в данной серии искомых корней нет.

Из серии $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :$

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно 4 Пи равносильно 15 меньше или равно 5 плюс 12n меньше или равно 24 равносильно 10 меньше или равно 12n меньше или равно 19 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 1 плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби равносильно n=1.$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно 4 Пи равносильно 15 меньше или равно 5 плюс 12n меньше или равно 24 равносильно$
$равносильно 10 меньше или равно 12n меньше или равно 19 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 1 плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби равносильно n=1.$

$x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505598

а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы половинного аргумента, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505598	а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$